Promacanthus

0.1. 图定义
0.2. 存储图
- 0.2.1. 邻接矩阵
- 0.2.2. 邻接表
0.3. 搜索算法
- 0.3.1. 广度优先搜索
- 0.3.2. 深度优先搜索

0.1. 图定义

树一种非线性表数据结构，树中的元素称为节点
图（Graph）另一种非线性表数据结构，图中的元素叫作顶点（vertex）

图比树更加复杂，图中的一个顶点可以与任意其他顶点建立连接关系，这种建立的关系叫作边（edge）。

以微博为例，把每个用户看作一个顶点。如果两个用户之间互相关注，那就在两者之间建立一条边。所以，整个微博的粉丝关系就可以用一张图来表示。其中，每个用户有多少个粉丝，对应到图中，就叫作顶点的度（degree），就是跟顶点相连接的边的条数。

如果用户 A 关注了用户 B，就在图中画一条从 A 到 B 的带箭头的边，来表示边的方向。
如果用户 A 和用户 B 互相关注，就画一条从 A 指向 B 的边，再画一条从 B 指向 A 的边。

这种边有方向的图叫作“有向图”。以此类推，边没有方向的图就叫作“无向图”。

无向图中有“度”这个概念，表示一个顶点有多少条边。在有向图中，把度分为入度（In-degree）和出度（Out-degree）。

顶点的入度，表示有多少条边指向这个顶点；入度就表示有多少粉丝
顶点的出度，表示有多少条边是以这个顶点为起点指向其他顶点；出度就表示关注了多少人

再来看QQ，它的社交关系要更复杂一点。QQ 不仅记录了用户之间的好友关系，还记录了两个用户之间的亲密度，如果两个用户经常往来，那亲密度就比较高；如果不经常往来，亲密度就比较低。

这里就要用到带权图（weighted graph），每条边都有一个权重（weight），可以通过这个权重来表示 QQ 好友间的亲密度。

0.2. 存储图

0.2.1. 邻接矩阵

图最直观的一种存储方法就是，邻接矩阵（Adjacency Matrix）。

邻接矩阵的底层依赖一个二维数组。

对于无向图，如果顶点 i 与顶点 j 之间有边，就将 A[i][j]和 A[j][i]标记为 1
对于有向图：如果顶点 i 到顶点 j 之间：
- 有一条箭头从顶点 i 指向顶点 j 的边，就将 A[i][j]标记为 1
- 有一条箭头从顶点 j 指向顶点 i 的边，就将 A[j][i]标记为 1
对于带权图，数组中就存储相应的权重

用邻接矩阵来表示一个图，虽然简单、直观，但是比较浪费存储空间。

对于无向图来说，如果 A[i][j]等于 1，那 A[j][i]也肯定等于 1。实际上，只需要存储一个就可以了，另外一半白白浪费掉了。
如果存储的是稀疏图（Sparse Matrix），顶点很多，但每个顶点的边并不多，那邻接矩阵的存储方法就更加浪费空间了。

邻接矩阵的优点：

存储方式简单、直接，因为基于数组，所以在获取两个顶点的关系时，就非常高效
方便计算，因为可以将很多图的运算转换成矩阵之间的运算。比如求解最短路径问题时会提到一个Floyd-Warshall 算法，就是利用矩阵循环相乘若干次得到结果

0.2.2. 邻接表

针对邻接矩阵比较浪费内存空间的问题，使用邻接表（Adjacency List）来存储图。乍一看，邻接表有点像散列表，每个顶点对应一条链表，链表中存储的是与这个顶点相连接的其他顶点。

有向图的邻接表存储方式，每个顶点对应的链表中，存储的是指向的顶点
无向图的邻接表存储方式，每个顶点对应的链表中，存储的是跟这个顶点有边相连的顶点

邻接矩阵存储起来比较浪费空间，但是使用起来比较节省时间。
邻接表存储起来比较节省空间，但是使用起来就比较耗时间。

如果链过长，为了提高查找效率，可以将邻接表中的链表改成平衡二叉查找树。实际开发中，可以选择用红黑树。这样，可以更加快速地查找两个顶点之间是否存在边了。

二叉查找树可以换成其他动态数据结构，比如跳表、散列表等。

还可以将链表改成有序动态数组，可以通过二分查找的方法来快速定位两个顶点之间否是存在边。

使用邻接表存储出度，使用逆邻接表存储入度。

0.3. 搜索算法

算法是作用于具体数据结构之上的，深度优先搜索算法和广度优先搜索算法都是基于“图”这种数据结构的。

图这种数据结构的表达能力很强，大部分涉及搜索的场景都可以抽象成“图”。

图上的搜索算法，最直接的理解就是，在图中找出从一个顶点出发，到另一个顶点的路径。具体方法有很多，比如两种最简单、最“暴力”的深度优先、广度优先搜索，还有 A*、IDA* 等启发式搜索算法。

图有两种主要存储方法，邻接表和邻接矩阵，下面用邻接表来存储图。

深度优先搜索算法和广度优先搜索算法，既可以用在无向图，也可以用在有向图上。

0.3.1. 广度优先搜索

广度优先搜索（Breadth-First-Search，BFS）。它是一种“地毯式”层层推进的搜索策略，即先查找离起始顶点最近的，然后是次近的，依次往外搜索。

尽管广度优先搜索的原理挺简单，但代码实现还是稍微有点复杂度。

代码里面有三个重要的辅助变量 visited、queue、prev。

visited 是用来记录已经被访问的顶点，用来避免顶点被重复访问。如果顶点 q 被访问，那相应的 visited[q]会被设置为 true。
queue 是一个队列，用来存储已经被访问、但相连的顶点还没有被访问的顶点。因为广度优先搜索是逐层访问的，也就是说，只有把第 k 层的顶点都访问完成之后，才能访问第 k+1 层的顶点。当访问到第 k 层的顶点的时候，需要把第 k 层的顶点记录下来，稍后才能通过第 k 层的顶点来找第 k+1 层的顶点。所以，用这个队列来实现记录的功能。
prev 用来记录搜索路径。当从顶点 s 开始，广度优先搜索到顶点 t 后，prev 数组中存储的就是搜索的路径。不过，这个路径是反向存储的。prev[w]存储的是，顶点 w 是从哪个前驱顶点遍历过来的。为了正向打印出路径，需要递归地来打印，使用print()函数的实现。

时间复杂度：最坏情况下，终止顶点 t 离起始顶点 s 很远，需要遍历完整个图才能找到。这个时候，每个顶点都要进出一遍队列，每个边也都会被访问一次，所以，广度优先搜索的时间复杂度是 O(V+E)，其中，V 表示顶点的个数，E 表示边的个数。对于一个连通图（图中的所有顶点都是连通的）来说，E 肯定要大于等于 V-1，所以，广度优先搜索的时间复杂度也可以简写为 O(E)
空间复杂度：空间消耗主要在几个辅助变量 visited 数组、queue 队列、prev 数组上。这三个存储空间的大小都不会超过顶点的个数，所以空间复杂度是 O(V)

0.3.2. 深度优先搜索

深度优先搜索（Depth-First-Search，DFS），最直观的例子就是“走迷宫”。

在图中应用深度优先搜索，来找某个顶点到另一个顶点的路径。搜索的起始顶点是 s，终止顶点是 t，希望在图中寻找一条从顶点 s 到顶点 t 的路径。

用深度递归算法，把整个搜索的路径标记出来了。这里面实线箭头表示遍历，虚线箭头表示回退。从图中可以看出，深度优先搜索找出来的路径，并不是顶点 s 到顶点 t 的最短路径。

实际上，深度优先搜索用的是一种比较著名的算法思想，回溯思想。这种思想解决问题的过程，非常适合用递归来实现。

深度优先搜索代码实现也用到了 prev、visited 变量以及 print() 函数，它们跟广度优先搜索代码实现里的作用是一样的。

不过，深度优先搜索代码实现里，有个比较特殊的变量 found，它的作用是，当我们已经找到终止顶点 t 之后，就不再递归地继续查找了。

时间复杂度：从上图可以看出，每条边最多会被访问两次，一次是遍历，一次是回退。所以，深度优先搜索算法的时间复杂度是 O(E)，E 表示边的个数
空间复杂度：消耗内存主要是 visited、prev 数组和递归调用栈。visited、prev 数组的大小跟顶点的个数 V 成正比，递归调用栈的最大深度不会超过顶点的个数，所以总的空间复杂度就是O(V)

广度优先搜索和深度优先搜索是图上的两种最常用、最基本的搜索算法，比起其他高级的搜索算法，比如 A、IDA 等，要简单粗暴，没有什么优化，所以，也被叫作暴力搜索算法。所以，这两种搜索算法仅适用于状态空间不大，也就是说图不大的搜索。